建構數學與數學教育

建構數學與數學教育

李瑩英

第一批學習建構數學教材的學生，今年上國中一年級。他們數學測驗成績的大幅滑落，引起社會大眾很多的關注和討論。計算能力的不足，是這個教學法深受批評的一點，但支持的人常會拿以下的理由來反駁：「數學不是算術」、「難道珠心算高段的人，數學就比較好嗎？」在回答這些問題以前，我們先瞭解一下數學的本質和角色。



數學可以說是描述規律、自然現象，以及進行邏輯思考、推理，一套精確而且有效率的共同語言。利用數學式子寫下各個變化量的關係，然後透過演算和推導，我們便可以作出預測。所以有人用「數學是一門研究及發展各式各樣預測方法的學問」來形容數學這門學科。從形形色色的問題中，抽離出共同的本質，只要做同一套形式的推導，我們就能對不同情境中的問題，得到相同的答案。這個抽象化，以及以簡馭繁的過程是數學中非常重要的基本精神。



我們瞭解到，對大部分的人而言，數學無非是另一套語言及思維方式，可以協助我們記錄及研究自然和人的活動。若以語言學習，來看演算在數學的角色，或許會更清楚一些。我們知道認識的單字多，並不代表就能寫出好文章，或有深刻的思想；但一個人要能寫出像樣的文章，要能閱讀和學習，卻不能沒有基本的文字駕馭能力。我們是該把力氣花在研究每個字的結構和演化，還是其它方面呢？相信大家心中會有很清楚的答案。算術不是數學的全部，但卻是其中用來蓋房子的磚塊，因此對這些基本訓練，是不應該放鬆和打折扣的。



在廣告中有個常用的技巧，便是先製造一個愉悅美好的畫面，然後再擺上他們的產品。讓消費者由於移情作用，以為只要買了該產品，就也能產生同樣的情境。我發現在教改中，也到處充滿著同樣的現象。主其事的人為我們描繪的遠景，的確美麗而且吸引人，但實際的做法是否能達到這個目標？卻是個大大的問號。在檢討數學建構教學法之前，我們先談談實際上引領這股風潮的示範教材－部編本。這份教材，以不斷提問問題的形式呈現，是它一個很可取的地方，但是對於內容的安排，筆者認為有三個非常嚴重的問題：一是本末倒置，二是避重就輕，三是主題不清。



教學法就是要協助學生學習、克服困難，但這份教材卻在演算法花大量的篇幅及時間，以連加嘗試等方式建構。以一個二位數乘法為例，在五年級上學期（第九冊44頁），依然用連加法來湊出答案，步驟變多了，反而增加了計算錯誤的機會，捨人類累積的經驗，一切回到最原始的方法，無異開文明之倒車。建構首先需要有基本的素材，我們不可能要一個孩童自行建構出語言，他必須透過模仿、觀察、蒐集一些語彙後，才可能逐步建構出其個人的認知及溝通模式。學習前人累積的經驗，正是在蒐集這些素材；在轉化成個人知識的過程時，我們更希望能在前人的基礎上，建構及創新出一些不同的東西，而不是花全部心思在重新建構過去的歷史！這套部編的數學課本，所強調建構的題材是運算規則十分簡單，即使在傳統教學，九成以上的學生都沒有學習困難的部分，在這個地方大費周章，相對能花在學生真正會發生困難的題材，如因數、倍數、分數的四則運算以及各式應用問題等方面的時間就反而不夠了，這樣的安排是本末倒置。剛才所提到的是縱向的時間安排，而在同一單元的橫向時間安排，也有類似的問題。



部編本對其所觸及的題材，簡單的概念，花大篇幅重複討論，但對較為深入和困難的，卻是用一個例題帶過，時間的分配完全是「避重就輕」。如何面對困難和挫折，並且加以克服，絕對是教育和人生中一個重要的歷程。每一次成功克服困難的經驗，不但提高了我們智識上的能力，也增強了我們心理的強度和韌性。孩子真正需要的，絕對不是我們拿走這些關卡，而應該是在他們遇到困難的時候，放慢腳步，耐心的等候，隨時給予鼓勵和支持，並且在必要時，拉他們一把。取巧地讓課程簡化，當然會降低部分學生的挫折感，但他們是否能面對未來的挑戰呢？



這份教材的另一個問題是「主題不清」。數學是個結構十分清楚的學門，但這套課本，卻是在一個單元名稱下，交雜各式的內容，完全看不出單元探討的重點，以及題材間的關係。以我一個數學專業人員，讀來尚且如此，更何況是一群不知要建構出什麼內容的小學生。



在前面的討論中，我們談了目前數學建構教學的一些問題，以及筆者認為比較理想的做法。那麼是否只要修正這些錯誤，全面的數學建構教學，就沒問題了呢？我們不否認有一些很能掌握建構精神的老師，做了不錯的示範教學，然而另外一大群僵化的老師，只允許學生用這套方法，或題目一開始就要求記下作法，這比以前的傳統教學更加限制學生的思想！再美好的藍圖，也要考慮它的執行面，若相應的條件不具備，結果反而會造成一場浩劫。人的學習方法有各式各樣，沒有哪一套方法能適合所有的人，獨尊一家，不管是哪一家，都會出問題，最重要的是適才適性。還在學走路的學生，硬拉著他跑，是不對的；同樣地，已經會跑的學生，硬拉下他來用走的，也是一樣的謬誤。台灣教育中最核心的問題就是沒有「因材施教」，如果規避這個關鍵，其它的努力都將是事倍功半！



或許有人覺得這太複雜，是個不可能的工程。數學上有個阿基米得原理，告訴我們一個正數無論有多小，只要累加夠多次，終會超過任何數。即使我們無法一次達到目標，但總是要往這個方向，一步一步的前進。在九年一貫中，有一些彈性時間，如果能將這些時間完全空下來，做為老師和個別學生的互動，沒輪到和老師面談的學生，就做自我學習，其進度可以是超前，也可以是補救不足。這樣做，應該可以減少一些目前課程無法因材施教的遺憾。教改應該怎麼做，還有許多地方需要討論，限於篇幅，筆者的想法將於其它文章再與讀者分享。



關於建構數學所造成的缺失，我們不應該在這個時候，再多花力氣去指責任何一個人，所有從事教育改革的人，原也都是基於一股熱誠和理想。我們應該多花心思在如何修正及補救這個缺失，建立機制，讓以後的教育改革，不再犯類似的錯誤。一次的危機，如果處理得當，反而能變成正面的轉機，正如許文龍先生所說「跌倒了，在爬起來之前，我們還可以先找找地上，有沒有金子可以以撿。」有兩件結構性的事情，我們應該趁這個機會建立，第一是建立每年學生能力評量的資料，而且資料要完全公開。這些數據，縱向可以瞭解學生程度的變化，橫向可以比較城鄉差距，以及做各種因素的資料分析，同時能與國際上其它的國家做比較。任何的教育政策，都應該受到檢驗，而且有修正的機制，如果傳統的測驗，無法呈現教學成果，那麼也應該提出另一套評量的方式，以檢驗學生能力的變化。一個無法檢驗的論說，永遠只是空話，自由心證的結果，將是爭議不斷。



第二要確實面對「因材施教」這個核心問題，一步步建立改進的方法。筆者在上文提到，我們可以利用九年一貫的彈性時間，做為學生的自由學習時段，針對其各自的需求，做不同的安排，並創造出老師與個別學生的互動機會。現在進行中的增加選修課程，當然也很好，但精神不同，筆者所強調的是空白的時間，要老師與個別學生的互動。而不要像現在，國小學童原本每星期有三堂的彈性時間，地方政府一聲令下，其中的兩堂就被挪做英文教學了。另外，透過課程時間的恰當安排，我們不需要增加太多資源和負擔，便可以讓某些科學習超前的學生，在同一時段到不同年級上同一科目（目前只有約2﹪的學生進入資優班）。這樣逐步的累積經驗，及修正缺失，我們才能創造出一個新環境，並且有能力做進一步的調整，和實施更全面的因材施教。

針對目前還在實施建構式數學的年級，之前我們談了其一些缺失，以及合理的處理，老師在教學時，應該做適當的調整，基本的精神是「加強演算能力，並繼續教學互動的精神」，時間的分配也務必要多著重在學生有困難的部分。教學上，應該給老師更大的空間，讓他們能各自選擇不同的教學法，教材可以自編，也應該允許使用或參考84年以前的課本。今年由建構數學融入九年一貫的有四年級和七年級的學生，明年則有目前的三年級和六年級，後年有目前的五年級學生。現在面臨的問題有兩方面，一個是學生演算能力的不足，一個是進度的落後。關於前者，其實只要觀念改變，每天多練習個20分鐘，兩星期一定可以看到成效。拿副撲克牌，親子或同學間就能做很多加減乘除的練習，而計算機也是很方便的練習工具，自己出個題目，紙筆先做運算，再對照一下答案對不對。而九九乘法表，多背幾次，也就熟悉了。學生有空白的時間，才有機會各自針對自己的需要，有不同的作法。至於進度落後的問題，我們不應該急就章地要在短時間內，透過密集加課來彌補，這樣對學生和老師都是很大的壓力，也反而沒辦法學好。我們應該透過比較長的時間來調整，如一年到兩年來調整，其間允許老師打破各冊的進度，自行選擇合適的教材。各版本的書商已有做額外的銜接題材，教育部也可以委託部分學者或單位，設計一份參考的調整進度時程。然而並非只要融入九年一貫，大家就可以高枕無憂，九年一貫中的數學及其它教學，依然急待各方做仔細的檢討和改進。